Domeport - Teil 1
Um die Berechnung zu vereinfachen, wird davon ausgegangen, dass das Glas des Domeports unendlich dünn ist bzw. den gleichen Brechnungsindex wie das umgebene Wasser hat. Die Brechungsindizies von Wasser liegen mit 1,33, Acrylglas 1,49 und Fensterglas 1,52 dicht beeinander, unterscheiden sich aber deutlich von Luft mit ca. 1,0. Durch die Vereinfachung ergibt sich eine plankonkave Linse.
Der Mittelpunktstrahl läuft vom oberen Ende des Gegenstandes G zum Mittelpunkt M des Domeports (das ist die einzige Möglichkeit, dass ein Lichtstrahl ungebrochen die Grenzfläche passiert).
Der Parallelstrahl trifft im Winkel delta
1 auf die Grenzfläche und wird vom Lot weggebrochen, der Winkel delta
2 ist also größer als delta
1. Verlängert man diesen Strahl rückwärts (gestrichelt), so läuft dieser für achsnahe Strahlen durch den Brennpunkt F.
Am Schnittpunkt dieses rückwärtigen Strahls mit dem Mittelpunktstrahl entsteht das virtuelle Bild B.
Bild 3: Strahlenverlauf beim Domeport
Mich interessieren die Größe und Position des virtuellen Bildes:
a) wenn der Abstand des Gegenstandes konstant ist und dessen Größe variiert
b) die Größe des Gegenstandes konstant ist, aber der Abstand variiert
Bild 4: Detail Domeport
Den Einfallswinkel des Parallelstrahls delta
1 und die Gegenstandshöhe g findet man auch innerhalb des Domeports, g ist dabei die Gegenkathete und r die Hypothenuse:
sin(delta
1) = g/r
Nach dem Brechungsgesetz gilt
n
1 * sin(delta
1) = n
2 * sin(delta
2)
Mit n2 = 1 für die Luft innerhalb des Domeports:
sin(delta
2) = n1 * g/r
Für den Mittelpunktstrahl gilt
tan(alpha) = g/(s + r) und tan(alpha) = b/(x + r)
Mit der zweiten Gleichung kommt man allerdings nicht weiter, da sie beide Unbekannte enthält. Stattdessen muss man sich das Dreieck ansehen, dass durch die Lichtstrahlen gebildet wird.
Bild 5: Detail Domeport
Der Winkel β ergibt sich als Differenz delta
2 - delta
1. Wenn zwei Winkel und eine Seite - in diesem Fall entspricht s der sonst üblichen Bezeichnung c - bekannt sind, lassen sich alle anderen Größen eines Dreiecks berechnen. In diesem Fall ist die Höhe h gesucht.
a = s * sin(alpha) / sin(gamma) und h = a * sin(β)
h = s * sin(alpha) * sin(β) / sin(gamma)
Da in einem Dreieck die Summe aller Innenwinkel 180 Grad beträgt, lässt sich auch der dritte Winkel gamma berechnen.
Die Bildhöhe ist dann b = g - h
Die Position ist x = b/tan(alpha) - r